Copula hai biến
Có hai biến ngẫu nhiên X và y. Khi xem xét hai biến này riêng lẻ, ta bỏ qua tính phụ thuộc của chúng với nhau. Phân phối một hàm được gọi là phân phổi vô điều kiện. Phân phối của một biên, phụ thuộc vào một giá trị của biến kia, được gọi là phân phối điều kiện hay phân phổi lề. Hai biên ngẫu nhiên X và y tuân theo những CDF vô điều kiện Fj(X) và F2(Y) và PDF là ft(X) và f2(Y). Không có giới hạn nào vói FjQO và F2(Y), là những hàm phân phối một biến. Những hàm này có thể chuẩn hoặc không chuẩn.
Những tính chất thông thường của phân phối một biến vô điều kiện sẽ áp dụng. Hàm mật độ tích lũy là P(X < x) = Fj (x) và P(Y < y) = F2 (y). Xác suất kết hợp hai biền X và y sẽ nhỏ hơn và bằng X và y được gọi là P[(X < x)8c <1 y)] hay joint CDP(x,ỵ)
Có hai biến ngẫu nhiên X và y. Khi xem xét hai biến này riêng lẻ, ta bỏ qua tính phụ thuộc của chúng với nhau. Phân phối một hàm được gọi là phân phổi vô điều kiện. Phân phối của một biên, phụ thuộc vào một giá trị của biến kia, được gọi là phân phối điều kiện hay phân phổi lề. Hai biên ngẫu nhiên X và y tuân theo những CDF vô điều kiện Fj(X) và F2(Y) và PDF là ft(X) và f2(Y). Không có giới hạn nào vói FjQO và F2(Y), là những hàm phân phối một biến. Những hàm này có thể chuẩn hoặc không chuẩn.
Những tính chất thông thường của phân phối một biến vô điều kiện sẽ áp dụng. Hàm mật độ tích lũy là P(X < x) = Fj (x) và P(Y < y) = F2 (y). Xác suất kết hợp hai biền X và y sẽ nhỏ hơn và bằng X và y được gọi là P[(X < x)8c <1 y)] hay joint CDP(x,ỵ)
C(x,y) = F(x, y) = Fx (x)F2 (y)
Ký hiệu cho phân phối điều kiện là F(XIY) cho những hàm tích lũy hay f(X/Y) cho hàm mật độ. Nếu các biến phụ thuộc nhau, xác suất điều kiện của y nếu X hay p(x < XI y) 5 F] (x) , tuân theo quy tắc của xác suất điều kiện:
P(X = x/Y = y) = P(X<x&Y = y)/P(Y = y)
Mật độ xác suất kết hợp (JDP) được chỉ định cho sự kiện đổng thời X <X&Y = y. Khi X và Y độc lập, JDP trở thành tích của hai xác suất X = X và y = y. Nêu không, nó sẽ khác tích, cao hon nếu X và Y hay đổng biến đổi, và thập hơn khi X và y thay đổi ngược nhau.Các tính chất của hàm copula
Một hàm copula phụ thuộc vào các hàm mật độ tích lũy hay xác suất tích lũy X < X và Y = y. Với các hàm liên tục, những tổng này là tích phân của mật độ phân phôi kết hợp và vói biến rủi ro, chúng là tổng của những yếu tố đếm được. Điều này khiến cho chúng khó biến đổi. Do đó, ta chủ yếu dùng “hàm mật độ copula” như được giải thích dưới đây. Hặm copula có những tính chất đơn giản.
• Giá trị lớn nhất của copula là 1 vì nó một xác suất kết hợp.
• Giá trị copula bằng 0 nêu một trong những đối số bằng 0. Nếu xác suất tích lũy của giá trị X của biến X bằng, biên không thể nhận giá trị nào nhỏ hơn hoặc bằng X. Vi Xác suất kết hợp là F(x, y) = P(X < x)PỢ < y IX < x), thừa số đẩu tiên bằng 0 nên tích bằng 0.
• Do đó, hàm copula nhận giá trị từ 0 tói 1 giống như bất kỳ xác suất nào khác.
• Khi giá trị của một đối số bằng % ví dụ P(X < x) = 1, xác suất kết hợp trả thành F(x,y) = P(Y < y) và copula nhận giá trị của đối số còn lại.
