Nguyên lý của phân tích Cholesky rất dễ minh họa trong trường hợp hai biến và làm cho việc mở rộng ra nhiều biến dễ hiểu hơn. Điểm bắt đầu của phân tích Cholesky là ma trận phương sai – hiệp phương sai của các biến phụ thuộc nhau.Phân tích Cholesky viết ma trận phương sai – hiệp phương sai là một tích của hai ma trận tam giác. Một ma trận tam giác là ma trận có những ô không nằm trên đường chéo của một bên bằng 0. Ma trận tam giác được gọi là “tam giác dưới” hay L khi các số hàng 0 nằm bên trên đường chéo. Tam giác trên hay u có các số 0 nằm dưới đường chéo.
Tiếp đó, ta sử dụng hai biến chuẩn chuẩn hóa Xj và X2, độc lập nhau. Các biến phụ thuộc nhau chuẩn chuẩn hóa y, và y2 tuân theo tương quan đã biết là các hàm tuyến tính của các biến chuẩn độc lập. Ma trận phương sai – hiệp phương sai của hai biến chuẩn chuẩn hóa với tương quan là. Các yếu tố của ma trận tam giác dưới L phải thỏa mãn z = LX với X và Y là hai vector cột 2 X 1 đại diện cho hai tập biến. X, là các biến độc lập và Zk là các biến phụ thuộc nhau. Ma trận L được viết với hệ số với hai chi số dưới (cột) và (hàng).
Vấn đề là làm thế nào để xác định những hệ số tương ứng aij sao cho hai biến mới Zj và Z2 phụ thuộc nhau với tương quan. Các quan hệ tuyên tính xuất phát từ Y = LX
Phương trình đầu tiên phải tuân theo phương sai bằng 1 của biến mới. Điều này có nghĩa là. Tiếp theo, hiệp phương sai của những biến mới đã biến. Hơn nữa, Y2, một hàm tuyến tính của hai biến Xj và X2 nên có phương sai bằng l, khi các biến ban đầu Xj và X2 độc lập và chuẩn hóa. Những điều kiện này dẫn tới hai phương trình đơn giản.
Phương trình đầu tiên phải tuân theo phương sai bằng 1 của biến mới. Điều này có nghĩa là. Tiếp theo, hiệp phương sai của những biến mới đã biến. Hơn nữa, Y2, một hàm tuyến tính của hai biến Xj và X2 nên có phương sai bằng l, khi các biến ban đầu Xj và X2 độc lập và chuẩn hóa. Những điều kiện này dẫn tới hai phương trình đơn giản.
Phương trình ma trận Y = LX, với L là ma trận tam giác dưới với những hệ số trên và X là vector cột của các biến X và z là vector cột của các biến Zf đã định nghĩa hai biến Yj và Y2 là các hàm tuyến tính của các biến chuẩn chuẩn hóa độc lập X1 và X2 theo các phương trình sau.
Dễ dàng kiểm tra ma trận phương sai – hiệp phương sai đơn giản này là tích LU, với u là hoán vị của L. Phụ lục sẽ trình bày những công thức tổng quát với N biến.
Dễ dàng kiểm tra ma trận phương sai – hiệp phương sai đơn giản này là tích LU, với u là hoán vị của L. Phụ lục sẽ trình bày những công thức tổng quát với N biến.
Từ
khóa tìm kiếm nhiều: rủi ro tài chính
