Trong phần này ta sử đụng hai chữ cái Y và z cho hai biên ngẫu nhiên vì chúng ứng với ký hiệu của mô hình nhân tố và dễ dàng so sánh với mô hình một nhân tố với nhân tố z. Hai biên Y và z tuân theo mật độ kết hợp của hàm chuẩn chuẩn hóa hai biên. Ta biết mật độ kết hợp của một phân phối chuẩn hai biến được biểu diễn là một hàm dạng đóng và sử dựng hàm mật độ copula. Mật độ kết hợp của một phân phối chuẩn chuẩn hóa hai biến.
Những mật độ điều kiện được tính bằng cách cho biến điều phối z nhận một giá trị cụ thể. Chúng tạo nên phân phối chuẩn điều kiện của Y. Đầy là những khoanh dọc của phân phối chuẩn hai biên, mỗi khoanh được định bởi một giá trị của z. Biên còn lại Y tuân theo một phân phối chuẩn phụ thuộc vào giá trị của z. Mỗi đổ thị điều kiện này là một phân phối chuẩn, nhưng không chuẩn hóa. Phân phối điều kiện của Y được biểu diễn trong hình 33,7 là các khoanh dọc cho các giá trị khác nhau của z. Chúng có những giá trị kỳ vọng khác nhau, tăng lên với z * z và một phương sai cố định tùy vào tương quan, như được giải thích dưới đây. Nên nhớ Y và z tuân theo một phân phối hai biến chuẩn hóa với tương quan ọ khi và chi khi hai biên X và z chuẩn chuẩn hóa.
Những mật độ điều kiện được tính bằng cách cho biến điều phối z nhận một giá trị cụ thể. Chúng tạo nên phân phối chuẩn điều kiện của Y. Đầy là những khoanh dọc của phân phối chuẩn hai biên, mỗi khoanh được định bởi một giá trị của z. Biên còn lại Y tuân theo một phân phối chuẩn phụ thuộc vào giá trị của z. Mỗi đổ thị điều kiện này là một phân phối chuẩn, nhưng không chuẩn hóa. Phân phối điều kiện của Y được biểu diễn trong hình 33,7 là các khoanh dọc cho các giá trị khác nhau của z. Chúng có những giá trị kỳ vọng khác nhau, tăng lên với z * z và một phương sai cố định tùy vào tương quan, như được giải thích dưới đây. Nên nhớ Y và z tuân theo một phân phối hai biến chuẩn hóa với tương quan ọ khi và chi khi hai biên X và z chuẩn chuẩn hóa.
Ấn định một giá trị z cho z, giá trị kỳ vọng của Y tùy theo z là E(Y IZ) = pz vì E(X)=0. Phương sai của Y tùy theo z là vợ IZ) = V[pZ + *J(l — p2)X] = ỉ — p2 khi Z=z cố định. Biên (YIZ) chuẩn nhưng không chuẩn hóa với giá trị kỳ vọng QZ và độ lệch chuẩn bằng iJ(ỉ-p2)X khiZ = zcốđịnh.
Chú ý quan hệ Y = pZ + (1 — p2)X cũng giống như khi sử dụng mô hình một nhân tố. Nó cũng giống với dạng của phân tích Cholevsky để tạo ra những biến chuẩn tương quan Y và z (chương 34). Quan hệ này là phân phối điểu kiện của Y tùy theo z. Cả ba phương pháp đểu dẫn tói dạng điều kiện giống như cho phân phối điểu kiện của Y.
Chú ý quan hệ Y = pZ + (1 — p2)X cũng giống như khi sử dụng mô hình một nhân tố. Nó cũng giống với dạng của phân tích Cholevsky để tạo ra những biến chuẩn tương quan Y và z (chương 34). Quan hệ này là phân phối điểu kiện của Y tùy theo z. Cả ba phương pháp đểu dẫn tói dạng điều kiện giống như cho phân phối điểu kiện của Y.
Khi biến điều phối Z = z tầng, giá trị kỳ vọng của (Y/Z) tăng nếu tương quan dương và phương sai không thay đổi. Phương sai của (Y/Z) giảm khi giá trị tuyệt đối của tương quan tăng. Khi tương quan bằng 1, hai biến hoàn toàn tương quan và z quyết định Y.
Ta sử dụng N(m,ơ) cho PDF tích lũy của một biên không chuẩn hóa với trung bình m và độ lệch chuẩn cho PDF tích lũy của một biến chuẩn chuẩn hóa. Y tuân theo N và z tuân theo một hàm tuyên tính tăng đơn điệu của Y. Do đó, với mỗi giá trị yt của Y9 sao cho P(Ya , ys) e a với a là bách phân vị của biên chuẩn chuẩn hóa tùy theo giá trị z của z, có một giá trị y của y sao cho P(y) = a.
