Vì hàm copula c là CDF kết hợp với các đối số là đạo hàm hàm CDF theo X và y, ta nên dùng quy tắc dây xích cho đào hàm: lây đạo hàm bậc một theo các đối số của c, Fj và F2 (là hàm của X và y) và nhân với đạo hàm của Fj và F2 theo X và y.
Quy tắc dây xích cho các đạo hàm sử dụng hai hàm g và h của X, ví dụ như k(x) = g[h(x) ] nên:
δk(x)/δx = (δg / δh)( δh / δx)
Trong CDF kết hợp, hàm copula C tương đương với g và CDF kết hợp Ft(x) tương đương với h(x). Do đó với một hàm riêng lẻ của X,.
Quy tắc dây xích cho các đạo hàm sử dụng hai hàm g và h của X, ví dụ như k(x) = g[h(x) ] nên:
δk(x)/δx = (δg / δh)( δh / δx)
Trong CDF kết hợp, hàm copula C tương đương với g và CDF kết hợp Ft(x) tương đương với h(x). Do đó với một hàm riêng lẻ của X,.
Hàm mật độ xác suất kết hợp với hai biến
Hàm copula là một CDF kết hợp, bằng với xác suất hai biến nhỏ hơn hoặc bằng X và y. Hàm mật độ xác suất kết hợp hay PDF kết hợp là xác suất hai biến tuân theo hai hàm phân phối Fj(x) và F2(y) nhận cặp giá trị X và y:
P(X = X&Y = y) = joint PDF(x,y)
Hàm copula là một CDF kết hợp, bằng với xác suất hai biến nhỏ hơn hoặc bằng X và y. Hàm mật độ xác suất kết hợp hay PDF kết hợp là xác suất hai biến tuân theo hai hàm phân phối Fj(x) và F2(y) nhận cặp giá trị X và y:
P(X = X&Y = y) = joint PDF(x,y)
Bắt đầu từ hàm copula. Vì nó tích lũy xác suất của X và y nhỏ hơn hoặc bằng X và y, nó tính tổng tất cả các xác suất kết hợp của cặp X và y thấp hơn X và y. Copula là một hàm tích lũy và là tích phân của hàm mật độ kết hợp tương ứng, ứng với cặp giá trị X và y. PDF kết hợp này hay xác suất kết hợp ứng với cặp (x,y) được tính từ hàm copula bằng cách lây đạo hàm theo X và y, hay đạo hàm thứ hai theo X và t.
Cách dẫn tới công thức này được mở rộng ở phẩn sau. Khi CDF của X là F(x), PDF của X là f(x). Hơn nữa với hai biến, PDF kết hợp. Hai hàm mật độ đơn biến. Gộp lại ta có hàm mật độ kết hợp là tích của hai hàm mật độ nhân với đạo hàm bậc hai của copula C theo Fĩ và F2:
Cách dẫn tới công thức này được mở rộng ở phẩn sau. Khi CDF của X là F(x), PDF của X là f(x). Hơn nữa với hai biến, PDF kết hợp. Hai hàm mật độ đơn biến. Gộp lại ta có hàm mật độ kết hợp là tích của hai hàm mật độ nhân với đạo hàm bậc hai của copula C theo Fĩ và F2:
Dùng ký hiệu viết tắt c cho đạo hàm bậc hai của c rất tiện lợi, chữ cái thường c được định nghĩa là: Mật độ copula. Hàm mật độ kết hợp của các biến X và y là mật độ copula nhân với các mật độ lề (vô điều kiện và đơn biến) của X và Y, Fj(x) và F2(y). Mật độ copula là hàm của mật độ kết hợp của hai biết và mật độ vô điều kiện của chúng.
Mật độ copula là tỷ lệ giữa mật độ xác suất kết hợp với tích của các xác suất X = X và Y = y. Tích bằng với xác suất kết hợp của x và y khi X và Y độc lập với nhau.
Khi X và y độc lập nhau, mật độ copula đúng bằng 1.
Khi X và y có tương quan dương, mật độ copula cao hơn 1 vì xác suất kết han f(x,y)>fị(x)f2(y)
Khi X và y có tương quan âm, mật độ copula thấp hơn 1 vì /(x, y) < /, (x)/2
Khi X và y độc lập nhau, mật độ copula đúng bằng 1.
Khi X và y có tương quan dương, mật độ copula cao hơn 1 vì xác suất kết han f(x,y)>fị(x)f2(y)
Khi X và y có tương quan âm, mật độ copula thấp hơn 1 vì /(x, y) < /, (x)/2
Từ
khóa tìm kiếm nhiều: danh mục đầu tư
